Ecuación de estado.

Ecuación de estado.

Antes de empezar a trabajar con lo que será mi ecuación de estado, considero necesario definir esta. La ecuación de estado es una relación matemática entre variables o propiedades medibles que describen al sistema, lo cual permite conocer y predecir su comportamiento.

Para la ecuación de estado de mi sistema (guitarra), considerare solo la parte excitada de él (cuerdas). Para ello tomare a las  cuerdas como un solido lineal, por lo cual las variables termodinámicas a considerar serán la tensión, longitud y temperatura.

En el libro de termodinámica de García Colín se puede ver que para tal sistema (solido lineal) las funciones de respuesta son:

Modulo de Young                                                      

Donde:

L: longitud

A: área

Τ: tensión

K: constante de elasticidad

Θ: temperatura.

 Coeficiente de dilatación

Donde L₀: longitud inicial.

La razón por la cual tome estas funciones es que la primera nos indica que al mantener la temperatura constante, hay cambio de la tensión si la longitud tiende a cambiar, esto es cierto en nuestro sistema debido a los diversos tonos de la guitarra. La segunda la tome ya que al haber cambio de temperatura la longitud se ve afectada debido a que la guitarra acústica es de madera y se puede dilatar.

A partir de esto se puede obtener la diferencial total de la tensión (unión de primera y segunda función) lo cual al integrar nos da como resultado la ecuación de estado final para mi sistema la cual es:

ECUACIÓN FINAL.

Tal ecuación también se puede comprobarse al derivarla directamente.

Observaciones adicionales.

Para poder introducir la frecuencia a mi ecuación se puede suponer que:

Donde c: constante y V: es la frecuencia. Lo cual implica que al haber un cambio de tensión, hay un cambio de frecuencia.

Al sustituir nos queda que:

Finalmente despejando la frecuencia tendríamos que:

Lo que implica que con un cambio de longitud hay un cambio de frecuencia.

Finalmente si ahora quisiéramos considerar las 6 cuerdas, en esencia la ecuación es la misma salvo para algunas consideraciones.

Para describir lo siguiente considerare que σ esta compuesto por 6 subunidades aisladas, donde σi denota cada uno de los sistemas para distintos valores de i.

Esta condición implica que la ecuación es “propia de cada sistema”. Lo que genera la siguiente ecuación:

Donde θ es igual para cada parte del sistema.

Li: es propia de cada sistema debido a que cada cuerda requiere distinto tono de afinación.

Ki: propia de cada sistema debido a la composición de cada cuerda (plástica, metálica, etc.)

Con lo anterior se tiene que para poder sacar un tono total (tocar todas las cuerdas) dado que cada sistema genera una onda de sonido, se puede resolver por medio del principio de superposición.